Теорема Виета

Теорема Виета

Теорема Виета — это одно из самых полезных и изящных открытий в алгебре, которое позволяет связать корни квадратного уравнения с его коэффициентами. Названа она в честь французского математика Франсуа Виета, жившего в XVI веке. Благодаря этой теореме можно быстро проверять найденные корни, подбирать их устно и решать многие задачи без применения громоздких формул.

Основная теория

Формулировка теоремы Виета

Рассмотрим приведённое квадратное уравнение (то есть уравнение, в котором коэффициент при x² равен 1):

x² + px + q = 0

Если это уравнение имеет корни x₁ и x₂, то выполняются следующие соотношения:

Сумма корней: x₁ + x₂ = −p

Произведение корней: x₁ · x₂ = q

Другими словами: сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Теорема Виета для общего вида уравнения

Для квадратного уравнения общего вида ax² + bx + c = 0 (где a ≠ 0) формулы выглядят так:

• x₁ + x₂ = −b/a
• x₁ · x₂ = c/a

Эти формулы легко получить, если разделить всё уравнение на коэффициент a и применить теорему для приведённого уравнения.

Обратная теорема Виета

Существует и обратное утверждение, которое не менее важно:

Если числа x₁ и x₂ таковы, что x₁ + x₂ = −p и x₁ · x₂ = q, то эти числа являются корнями уравнения x² + px + q = 0.

Обратная теорема позволяет подбирать корни уравнения устно, а затем проверять их правильность.

Разобранные примеры

Пример 1. Проверка корней по теореме Виета

Задача: Проверить, являются ли числа 3 и −7 корнями уравнения x² + 4x − 21 = 0.

Решение:

1. Определяем коэффициенты: p = 4, q = −21
2. Проверяем сумму корней: 3 + (−7) = −4. По теореме Виета сумма должна равняться −p = −4. Совпадает!
3. Проверяем произведение корней: 3 · (−7) = −21. По теореме Виета произведение должно равняться q = −21. Совпадает!

Ответ: Да, числа 3 и −7 являются корнями данного уравнения.

Пример 2. Подбор корней с помощью теоремы Виета

Задача: Решить уравнение x² − 5x + 6 = 0, подобрав корни.

Решение:

1. Определяем коэффициенты: p = −5, q = 6
2. По теореме Виета корни должны удовлетворять условиям:
   • x₁ + x₂ = −(−5) = 5
   • x₁ · x₂ = 6
3. Подбираем два числа, которые в сумме дают 5, а при умножении — 6. Перебираем делители числа 6: это 1, 2, 3, 6.
4. Проверяем пары: 2 + 3 = 5 и 2 · 3 = 6. Подходит!

Ответ: x₁ = 2, x₂ = 3.

Пример 3. Составление уравнения по его корням

Задача: Составить приведённое квадратное уравнение, корнями которого являются числа −2 и 8.

Решение:

1. По обратной теореме Виета находим коэффициенты:
   • p = −(x₁ + x₂) = −(−2 + 8) = −6
   • q = x₁ · x₂ = (−2) · 8 = −16
2. Записываем уравнение в виде x² + px + q = 0

Ответ: x² − 6x − 16 = 0

Ключевые правила — запомни!

Что нужно найти	Формула для приведённого уравнения x² + px + q = 0
Сумма корней	x₁ + x₂ = −p (коэффициент при x с противоположным знаком)
Произведение корней	x₁ · x₂ = q (свободный член)

Важные замечания:

• Теорема Виета работает