Квадратное уравнение

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c — числа (коэффициенты), причём a ≠ 0. Это одна из важнейших тем алгебры, которая понадобится тебе и в старших классах, и при подготовке к экзаменам.

Почему a не может равняться нулю? Потому что тогда исчезнет слагаемое с x², и уравнение перестанет быть квадратным — станет обычным линейным.

Основные понятия

Коэффициенты квадратного уравнения

В уравнении ax² + bx + c = 0 каждый коэффициент имеет своё название:

• a — старший коэффициент (стоит при x²)
• b — средний коэффициент (стоит при x)
• c — свободный член (число без x)

Пример: в уравнении 3x² - 5x + 2 = 0 имеем: a = 3, b = -5, c = 2. Обрати внимание: знак «минус» относится к коэффициенту!

Виды квадратных уравнений

Квадратные уравнения бывают полными и неполными:

Вид уравнения	Условие	Пример
Полное	b ≠ 0 и c ≠ 0	2x² + 3x - 5 = 0
Неполное (без c)	c = 0	x² - 4x = 0
Неполное (без b)	b = 0	x² - 9 = 0
Неполное (без b и c)	b = 0 и c = 0	5x² = 0

Решение квадратных уравнений

Дискриминант

Для решения полного квадратного уравнения используется дискриминант — специальное число, которое показывает, сколько корней имеет уравнение.

Формула дискриминанта:

D = b² - 4ac

От знака дискриминанта зависит количество корней:

• Если D > 0 — два разных корня
• Если D = 0 — один корень (точнее, два одинаковых)
• Если D < 0 — корней нет (в области действительных чисел)

Формула корней

Когда D ≥ 0, корни находятся по формуле:

x = (-b ± √D) / (2a)

Это означает, что нужно вычислить два значения:

• x₁ = (-b + √D) / (2a)
• x₂ = (-b - √D) / (2a)

Разобранные примеры

Пример 1: Полное уравнение с двумя корнями

Задача: Решить уравнение x² - 5x + 6 = 0

Решение:

1. Определяем коэффициенты: a = 1, b = -5, c = 6
2. Вычисляем дискриминант: D = (-5)² - 4·1·6 = 25 - 24 = 1
3. D = 1 > 0, значит, два корня
4. Находим корни:
   • x₁ = (5 + √1) / 2 = (5 + 1) / 2 = 6 / 2 = 3
   • x₂ = (5 - √1) / 2 = (5 - 1) / 2 = 4 / 2 = 2

Ответ: x₁ = 3, x₂ = 2

Пример 2: Уравнение с одним корнем

Задача: Решить уравнение x² - 6x + 9 = 0

Решение:

1. Коэффициенты: a = 1, b = -6, c = 9
2. Дискриминант: D = (-6)² - 4·1·9 = 36 - 36 = 0
3. D = 0, значит, один корень
4. Находим корень: x = -(-6) / (2·1) = 6 / 2 = 3

Ответ: x = 3

Примечание: при D = 0 можно использовать упрощённую формулу x = -b / (2a)

Пример 3: Неполное квадратное уравнение

Задача: Решить уравнение 2x² - 8x = 0

Решение:

Здесь c =