Алгебра · 8 класс

Рациональные дроби

Дробно-рациональные выражения, основное свойство дроби, сокращение.

Действия с рациональными дробями

Сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических дробей.

Квадратные корни

Понятие квадратного корня, арифметический корень, свойства корней.

Преобразования выражений с корнями

Вынесение множителя из-под корня, введение под корень, рационализация.

Квадратное уравнение

Полное и неполное квадратное уравнение. Дискриминант. Формула корней.

Теорема Виета

Связь корней квадратного уравнения с коэффициентами. Разложение на множители.

Квадратные неравенства

Решение квадратных неравенств через знак дискриминанта и параболу.

Квадратичная функция

График параболы, ось симметрии, вершина, направление ветвей.

Системы с квадратными уравнениями

Системы уравнений, одно из которых квадратное. Графический метод.

Степень с целым отрицательным показателем

Что такое степень с отрицательным показателем, как она связана с дробями и по каким правилам с ней работать.

Стандартный вид числа

Как записывать очень большие и очень малые числа в стандартном виде и зачем это нужно в науке и технике.

Неполные квадратные уравнения

Виды неполных квадратных уравнений и быстрые способы их решения без использования общей формулы корней.

Дробные рациональные уравнения

Как решать уравнения с переменной в знаменателе и почему обязательно проверять область допустимых значений.

Числовые неравенства и их свойства

Что означают знаки сравнения чисел и какие свойства неравенств позволяют преобразовывать их без ошибок.

Линейные неравенства с одной переменной

Как решать линейные неравенства, изображать ответ на числовой прямой и записывать его в виде промежутка.

Функция квадратного корня и её график

Свойства функции квадратного корня, форма её графика-ветви параболы и область определения функции.

Сокращение рациональных дробей

Как раскладывать числитель и знаменатель на множители и сокращать дробь, учитывая область допустимых значений.

Вынесение множителя из-под знака корня

Приём упрощения квадратных корней: выделение полного квадрата и вынесение множителя за знак радикала.

Освобождение от иррациональности в знаменателе

Как избавиться от корня в знаменателе дроби домножением на нужный множитель или на сопряжённое выражение.

Дискриминант и формула корней квадратного уравнения

Что такое дискриминант, как по его знаку определить число корней и найти их по общей формуле.

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Как разложить квадратный трёхчлен на линейные множители через его корни и применить это к дробям.

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Как составлять и решать квадратные уравнения в задачах на движение, работу, площади и числа.

Метод интервалов

Универсальный способ решения квадратных и дробно-рациональных неравенств с помощью числовой прямой и знаков.

Числовые промежутки

Виды промежутков, их обозначение, изображение на координатной прямой и пересечение с объединением.

Приближённые вычисления и погрешность

Округление, абсолютная и относительная погрешность приближённого значения и оценка результата.

Функция обратной пропорциональности и её график

Функция вида игрек равен ка делить на икс, её свойства и график — гипербола в двух четвертях.

Основное свойство рациональной дроби

Почему числитель и знаменатель дроби можно умножать на одно и то же выражение и зачем это нужно.

Сложение дробей с разными знаменателями

Как привести алгебраические дроби к общему знаменателю и сложить их.

Умножение и деление рациональных дробей

Правила перемножения дробей и деления через умножение на обратную.

Квадратный корень из произведения и дроби

Свойства арифметического квадратного корня для произведения и частного.

Тождество корня из квадрата (модуль)

Почему корень из квадрата числа равен его модулю и как это применять.

Уравнение вида икс в квадрате равно а

Сколько корней имеет простейшее квадратное уравнение в зависимости от знака числа.

Приведённое квадратное уравнение

Уравнение с единичным старшим коэффициентом и формула его корней.

Формула корней при чётном втором коэффициенте

Упрощённая формула решения квадратного уравнения через четверть дискриминанта.

Задачи на движение, сводящиеся к квадратным уравнениям

Как составить уравнение по условию задачи на скорость, время и расстояние.

График функции игрек равно икс в квадрате

Свойства простейшей параболы и её роль для квадратичной функции.

Степенная функция с натуральным показателем

Графики и свойства функций при чётном и нечётном показателе степени.

Свойства степени с целым показателем

Правила действий со степенями, у которых показатель — любое целое число.

Выделение полного квадрата из трёхчлена

Как преобразовать квадратный трёхчлен к виду квадрат суммы плюс число и зачем это нужно.

Координаты вершины параболы

Формулы для нахождения вершины параболы и построение графика квадратичной функции по ней.

Нули функции и точки пересечения с осями

Как находить нули функции и точки пересечения графика с осями координат.

Теорема, обратная теореме Виета

Как по сумме и произведению подбирать корни и составлять квадратное уравнение.

Биквадратные уравнения

Решение уравнений четвёртой степени через замену переменной и сведение к квадратному.

Уравнения с модулем

Раскрытие модуля по определению и решение простейших уравнений с модулем.

Неравенства с модулем

Решение неравенств с модулем через геометрический смысл и равносильные переходы.

Системы линейных неравенств с одной переменной

Как находить пересечение решений нескольких линейных неравенств.

Двойные неравенства

Решение неравенств вида а меньше выражения меньше бэ и запись ответа промежутком.

Среднее арифметическое и среднее геометрическое

Понятие средних величин и неравенство между средним арифметическим и геометрическим.

Область определения функции

Как находить область определения функции с дробью и квадратным корнем.

Кубический корень

Понятие кубического корня, его свойства и отличие от квадратного корня.

Сложение и вычитание квадратных корней

Как складывать и вычитать корни, приводя их к подобным радикалам.

Умножение и деление квадратных корней

Правила умножения и деления арифметических квадратных корней.

Сравнение значений выражений с корнями

Способы сравнивать числа, содержащие квадратные корни, без калькулятора.

Оценка значения квадратного корня

Как находить целую часть и приближённое значение квадратного корня.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Решение уравнений заменой переменной, приводящей к квадратному.

Задачи на совместную работу через квадратные уравнения

Как составлять и решать уравнения в задачах о совместной работе.

Задачи на смеси, сплавы и проценты

Решение текстовых задач о смесях и сплавах с помощью уравнений.

График функции игрек равно модуль икс

Построение и свойства графика функции с модулем переменной.

Преобразование графиков: сдвиг вдоль осей

Как сдвиги графика влево-вправо и вверх-вниз меняют формулу функции.

Возрастание и убывание функции

Понятие промежутков монотонности и как их находить по графику.

Наибольшее и наименьшее значение функции

Поиск экстремальных значений функции на промежутке и в вершине параболы.

Рациональные и иррациональные числа

Чем отличаются рациональные и иррациональные числа и как их распознавать.

Рациональные и иррациональные выражения

Чем рациональное выражение отличается от иррационального и как их распознавать в восьмом классе.

Область допустимых значений выражения

Как находить значения переменной, при которых выражение имеет смысл, и почему это важно.

Тождественные преобразования выражений

Что такое тождество и какие преобразования сохраняют равенство выражений при всех значениях переменной.

Уравнения с двумя модулями

Как решать уравнения, в которых стоят два знака модуля, методом промежутков и раскрытия знаков.

График функции игрек равно а делить на икс

Как строить и читать график обратной пропорциональности при разных значениях коэффициента.

Свойства квадратичной функции

Полный разбор свойств параболы: вершина, направление ветвей, монотонность, нули и ось симметрии.

Построение графика квадратичной функции

Пошаговый алгоритм построения параболы по коэффициентам, вершине и нескольким контрольным точкам.

Решение неравенств методом параболы

Как решать квадратные неравенства с опорой на эскиз параболы и расположение её ветвей.

Теорема Виета для приведённого уравнения

Как применять теорему Виета к уравнению со старшим коэффициентом единица для устного подбора корней.

Графический способ решения уравнений

Как находить корни уравнения по точкам пересечения графиков двух функций.

Преобразование выражений с двойным корнем

Как упрощать выражения вида корень из суммы с корнем, выделяя полный квадрат под знаком корня.

Уравнения, сводящиеся к линейным и квадратным

Как с помощью преобразований и замены переменной сводить сложные уравнения к знакомым линейным и квадратным.

Задачи на проценты и концентрацию

Как решать текстовые задачи на проценты, доли вещества и концентрацию растворов в восьмом классе.

Целая и дробная часть числа

Что такое целая и дробная часть числа, их свойства и применение в простых уравнениях.