Системы линейных уравнений
📐 Алгебра · 7 класс
Системы линейных уравнений
Представь, что тебе нужно найти два неизвестных числа, зная о них сразу несколько фактов. Например, ты знаешь, что сумма двух чисел равна 10, а их разность равна 4. Чтобы найти оба числа, нужно решить систему уравнений — это и есть тема нашего урока.
Что такое система линейных уравнений
Система линейных уравнений — это два или более уравнений с несколькими неизвестными, которые нужно решить одновременно. Решением системы называется такой набор значений переменных, который обращает в верное равенство каждое уравнение системы.
В 7 классе мы изучаем системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Общий вид такой системы:
a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂
Здесь x и y — неизвестные переменные, а буквы a, b, c — известные числа (коэффициенты).
Способы решения систем уравнений
Существует несколько методов решения систем. Рассмотрим три основных способа, которые пригодятся тебе чаще всего.
Способ подстановки
Суть метода: из одного уравнения выражаем одну переменную через другую, а затем подставляем полученное выражение во второе уравнение.
Алгоритм:
- Выбери уравнение, из которого удобнее выразить одну переменную
- Вырази эту переменную через другую
- Подставь полученное выражение в другое уравнение
- Реши получившееся уравнение с одной неизвестной
- Найди значение второй переменной
Способ сложения (алгебраического сложения)
Суть метода: уравнения складываются или вычитаются так, чтобы одна из переменных исчезла.
Алгоритм:
- При необходимости умножь одно или оба уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными
- Сложи уравнения почленно
- Реши получившееся уравнение с одной неизвестной
- Подставь найденное значение в любое из исходных уравнений и найди вторую переменную
Графический способ
Каждое линейное уравнение с двумя переменными задаёт прямую на координатной плоскости. Решение системы — это точка пересечения двух прямых. Этот способ наглядный, но не всегда даёт точный ответ.
Разбор примеров с пошаговым решением
Пример 1: Способ подстановки
Решить систему:
x + y = 7
2x - y = 5
Решение:
Шаг 1. Из первого уравнения выразим x:
x = 7 - y
Шаг 2. Подставим это выражение во второе уравнение:
2(7 - y) - y = 5
Шаг 3. Раскроем скобки и решим уравнение:
14 - 2y - y = 5
14 - 3y = 5
-3y = 5 - 14
-3y = -9
y = 3
Шаг 4. Найдём x, подставив y = 3 в выражение x = 7 - y:
x = 7 - 3 = 4
Ответ: x = 4, y = 3 или записывают как (4; 3)
Пример 2: Способ сложения
Решить систему:
3x + 2y = 12
x - 2y = 4
Решение:
Шаг 1. Заметим, что коэффициенты при y уже противоположные: +2y и -2y. Сложим уравнения:
(3x + 2y) + (x - 2y) = 12 + 4
3x + x + 2y - 2y = 16
4x = 16
x = 4
Шаг 2. Подставим x = 4 во второе уравнение:
4 - 2y = 4
-2y = 0
y = 0
Ответ: (4; 0)
Пример 3: Способ сложения с предварительным умножением
Решить систему:
2x + 3y = 7
3x + 2y = 8
Решение:
Шаг 1. Коэффициенты не противоположные. Умножим первое уравнение на 2, а второе на (-3), чтобы исключить y:
Первое уравнение × 2: 4x + 6y = 14