Линейные уравнения

Линейные уравнения

Линейные уравнения — это один из важнейших типов уравнений в алгебре, с которым ты будешь встречаться постоянно. Умение решать их — базовый навык, который пригодится не только в математике, но и в физике, химии и даже в повседневной жизни.

Что такое линейное уравнение?

Линейное уравнение — это уравнение, в котором переменная (обычно x) стоит только в первой степени, то есть без квадратов, кубов и других степеней.

Общий вид линейного уравнения:

ax + b = 0, где a и b — числа, причём a ≠ 0

Примеры линейных уравнений:

• 3x + 6 = 0
• 2x - 8 = 4
• 5 - x = 2x + 1

А вот это не линейные уравнения:

• x² + 3 = 0 (здесь x во второй степени)
• 1/x = 5 (здесь x в знаменателе)

Основная теория

Что значит «решить уравнение»?

Решить уравнение — значит найти все значения переменной, при которых левая часть уравнения равна правой. Такие значения называются корнями уравнения.

Главные правила преобразования уравнений

Чтобы решить линейное уравнение, мы преобразуем его, используя два основных правила:

Правило	Что это значит	Пример
Правило 1	К обеим частям уравнения можно прибавить (или вычесть) одно и то же число	x + 5 = 8 → x = 8 - 5 → x = 3
Правило 2	Обе части уравнения можно умножить (или разделить) на одно и то же число, не равное нулю	3x = 12 → x = 12 ÷ 3 → x = 4

Алгоритм решения линейного уравнения

1. Раскрой скобки, если они есть
2. Перенеси все члены с переменной x в левую часть, а числа — в правую (не забывай менять знак при переносе!)
3. Приведи подобные слагаемые в каждой части
4. Раздели обе части на коэффициент при x
5. Сделай проверку, подставив найденный корень в исходное уравнение

Разобранные примеры

Пример 1: Простое линейное уравнение

Задание: Реши уравнение 4x - 7 = 9

Решение:

1. Перенесём число -7 в правую часть (при переносе меняем знак на +7):
   4x = 9 + 7
2. Выполним сложение в правой части:
   4x = 16
3. Разделим обе части на 4:
   x = 16 ÷ 4
x = 4

Проверка: Подставим x = 4 в исходное уравнение:
4 · 4 - 7 = 16 - 7 = 9 ✓

Ответ: x = 4

Пример 2: Уравнение с переменной в обеих частях

Задание: Реши уравнение 5x - 3 = 2x + 9

Решение:

1. Перенесём члены с x влево, а числа вправо:
   5x - 2x = 9 + 3
2. Приведём подобные слагаемые:
   3x = 12
3. Разделим обе части на 3:
   x = 12 ÷ 3
x = 4

Проверка:
Левая часть: 5 · 4 - 3 = 20 - 3 = 17
Правая часть: 2 · 4 + 9 = 8 + 9 = 17
17 = 17 ✓

Ответ: x = 4

Пример 3: Уравнение со скобками

Задание: Реши уравнение 3(x - 2) - 4 = 2(x + 1)

Решение:

1. Раскроем скобки в левой части: 3 · x - 3 · 2 = 3x - 6
   Раскроем скобки в правой части: 2 · x + 2 · 1 = 2x + 2
   Получаем: 3x - 6 - 4 = 2x + 2
2. Упростим левую часть:
   3x - 10 = 2x + 2