Формулы сокращённого умножения

Формулы сокращённого умножения

Формулы сокращённого умножения — это специальные алгебраические тождества, которые позволяют быстро выполнять умножение и разложение многочленов без долгих вычислений. Зная эти формулы наизусть, ты сможешь решать примеры в несколько раз быстрее и избежишь множества ошибок.

В 7 классе изучаются семь основных формул, которые станут твоими верными помощниками на протяжении всей школьной математики и далее.

Основные формулы

Квадрат суммы

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Эту формулу легко запомнить по принципу: «первый в квадрате, плюс удвоенное произведение, плюс второй в квадрате».

Квадрат разности

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения.

(a − b)² = a² − 2ab + b²

Обрати внимание: последнее слагаемое всегда со знаком плюс, потому что квадрат любого числа положителен!

Разность квадратов

Разность квадратов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на их разность.

a² − b² = (a + b)(a − b)

Эта формула особенно полезна при разложении на множители и сокращении дробей.

Куб суммы

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Куб разности

(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

Сумма кубов

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

Разность кубов

a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

Разобранные примеры

Пример 1: Применение квадрата суммы

Задание: Вычислить (3x + 5)²

Решение:

1. Определяем, что здесь a = 3x, а b = 5
2. Применяем формулу (a + b)² = a² + 2ab + b²
3. Подставляем значения:
   • a² = (3x)² = 9x²
   • 2ab = 2 · 3x · 5 = 30x
   • b² = 5² = 25
4. Записываем результат: (3x + 5)² = 9x² + 30x + 25

Ответ: 9x² + 30x + 25

Пример 2: Разложение на множители с помощью разности квадратов

Задание: Разложить на множители 16y² − 49

Решение:

1. Замечаем, что 16y² = (4y)² и 49 = 7²
2. Значит, выражение имеет вид a² − b², где a = 4y, b = 7
3. Применяем формулу разности квадратов: a² − b² = (a + b)(a − b)
4. Подставляем: 16y² − 49 = (4y + 7)(4y − 7)

Ответ: (4y + 7)(4y − 7)

Пример 3: Упрощение выражения

Задание: Упростить (x + 2)² − (x − 2)²

Решение:

1. Раскроем первую скобку по формуле квадрата суммы: (x + 2)² = x² + 4x + 4
2. Раскроем вторую скобку по формуле квадрата разности: (x − 2)² = x² − 4x + 4
3. Вычтем второе выражение из первого: (x² + 4x + 4) − (x² − 4x + 4)
4. Раскроем скобки (не забываем сменить знаки!): x² + 4x + 4 − x² + 4x − 4
5. Приведём подобные слагаемые: x² − x² + 4x + 4x + 4 − 4 = 8x

Ответ: 8x

Альтернативное решение: Можно было сразу заметить, что выражение (x + 2)² − (x − 2)² представляет собой разность квадратов вида A² − B², где A = (x + 2) и B = (x − 2). Тогда: ((x+2) + (x−2))·((x+2) − (x−2)) = 2x · 4 = 8x

Ключевые правила — запомни!