НОД и НОК

НОД и НОК: учимся находить общие делители и кратные

В математике часто нужно работать с несколькими числами одновременно: сравнивать их, складывать дроби или решать задачи на распределение предметов поровну. Для этого нам помогают два важных понятия — наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК). Давай разберёмся, что это такое и как их находить.

Что такое НОД?

Определение

Наибольший общий делитель (НОД) двух или нескольких чисел — это самое большое число, на которое все данные числа делятся без остатка.

Проще говоря, если ты ищешь НОД чисел 12 и 18, нужно найти все числа, на которые делятся и 12, и 18, а потом выбрать из них самое большое.

Как найти НОД

Существует несколько способов найти НОД:

• Способ 1: Перебор делителей — выписываем все делители каждого числа и находим среди них наибольший общий
• Способ 2: Разложение на простые множители — раскладываем числа на простые множители и перемножаем общие

Пример 1: Найти НОД(12, 18) перебором делителей

Шаг 1. Выпишем все делители числа 12:

12 делится на: 1, 2, 3, 4, 6, 12

Шаг 2. Выпишем все делители числа 18:

18 делится на: 1, 2, 3, 6, 9, 18

Шаг 3. Найдём общие делители (те, что есть в обоих списках):

Общие делители: 1, 2, 3, 6

Шаг 4. Выберем наибольший:

НОД(12, 18) = 6

Пример 2: Найти НОД(24, 36) через разложение на простые множители

Шаг 1. Разложим 24 на простые множители:

24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 2³ × 3

Шаг 2. Разложим 36 на простые множители:

36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3²

Шаг 3. Выберем общие простые множители в наименьшей степени:

Общие множители: 2 (берём в степени 2, так как это меньшая степень) и 3 (берём в степени 1)

Шаг 4. Перемножим:

НОД(24, 36) = 2² × 3 = 4 × 3 = 12

НОД(24, 36) = 12

Что такое НОК?

Определение

Наименьшее общее кратное (НОК) двух или нескольких чисел — это самое маленькое число, которое делится на все данные числа без остатка.

Например, если искать НОК чисел 4 и 6, нужно найти такое число, которое делится и на 4, и на 6, причём выбрать самое маленькое из таких чисел.

Как найти НОК

• Способ 1: Перебор кратных — выписываем кратные каждого числа и находим наименьшее общее
• Способ 2: Разложение на простые множители — раскладываем числа и перемножаем все множители в наибольших степенях
• Способ 3: Через формулу — НОК(a, b) = (a × b) ÷ НОД(a, b)

Пример 3: Найти НОК(4, 6) перебором кратных

Шаг 1. Выпишем первые кратные числа 4:

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28...

Шаг 2. Выпишем первые кратные числа 6:

6, 12, 18, 24, 30...

Шаг 3. Найдём наименьшее число, которое есть в обоих списках:

НОК(4, 6) = 12

Пример 4: Найти НОК(8, 12) через разложение на простые множители

Шаг 1. Разложим 8 на простые множители:

8 = 2 × 2 × 2 = 2³

Шаг 2. Разложим 12 на простые множители:

12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3

Шаг 3. Выберем все простые множители в наибольшей степени:

Множитель 2: берём в степени 3 (наибольшая)

Множитель 3: берём в степени 1

Шаг 4. Перемножим:

НОК(8, 12) = 2³ × 3 = 8 × 3 = 24

НОК(8, 12) = 24

Связь между НОД и НОК

Существует важная формула, связывающая НОД и НОК двух чисел: