Делимость чисел
🔢 Математика · 5 класс
Делимость чисел
Делимость чисел — это одна из важнейших тем в математике, которая поможет тебе быстрее считать, сокращать дроби и решать многие задачи. В этой статье ты узнаешь, что значит «число делится на другое число», познакомишься с признаками делимости и научишься применять их на практике.
Что такое делимость?
Говорят, что натуральное число а делится на натуральное число b, если при делении а на b получается натуральное число (целое число) без остатка.
Например:
- 12 делится на 3, потому что 12 : 3 = 4 (остатка нет)
- 15 делится на 5, потому что 15 : 5 = 3 (остатка нет)
- 14 не делится на 3, потому что 14 : 3 = 4 (остаток 2)
При этом число а называют делимым, число b — делителем, а результат деления — частным.
Делители и кратные
Что такое делитель?
Делитель числа — это число, на которое данное число делится без остатка.
Например, найдём все делители числа 12:
- 12 : 1 = 12 ✓
- 12 : 2 = 6 ✓
- 12 : 3 = 4 ✓
- 12 : 4 = 3 ✓
- 12 : 6 = 2 ✓
- 12 : 12 = 1 ✓
Итак, делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Что такое кратное?
Кратное числа — это число, которое делится на данное число без остатка. Другими словами, кратные получаются при умножении числа на 1, 2, 3, 4 и так далее.
Например, кратные числа 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30... (их бесконечно много!)
Запомни: делителей у любого числа — конечное количество, а кратных — бесконечно много.
Признаки делимости
Чтобы не выполнять деление каждый раз, математики придумали признаки делимости — простые правила, которые помогают быстро определить, делится ли число на другое.
Признак делимости на 2
Число делится на 2, если оно оканчивается на чётную цифру: 0, 2, 4, 6 или 8.
Примеры: 24, 136, 1000 — делятся на 2; числа 23, 137, 1001 — не делятся на 2.
Признак делимости на 3
Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
Пример: число 243. Сумма цифр: 2 + 4 + 3 = 9. Число 9 делится на 3, значит, 243 тоже делится на 3.
Признак делимости на 5
Число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5.
Примеры: 25, 140, 1005 — делятся на 5; числа 23, 141, 1004 — не делятся на 5.
Признак делимости на 9
Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Пример: число 738. Сумма цифр: 7 + 3 + 8 = 18. Число 18 делится на 9, значит, 738 тоже делится на 9.
Признак делимости на 10
Число делится на 10, если оно оканчивается на 0.
Примеры: 50, 230, 1000 — делятся на 10.
Таблица признаков делимости
| Делитель | Признак |
|---|---|
| 2 | Последняя цифра: 0, 2, 4, 6 или 8 |
| 3 | Сумма цифр делится на 3 |
| 5 | Последняя цифра: 0 или 5 |
| 9 | Сумма цифр делится на 9 |
| 10 | Последняя цифра: 0 |
Разбор примеров
Пример 1. Определи, делится ли число 456 на 2, 3, 5 и 9
Решение:
- Делимость на 2: последняя цифра — 6 (чётная). Да, делится на 2.
- Делимость на 3: сумма цифр = 4 + 5 + 6 = 15. Число 15 делится на 3 (15 : 3 = 5). Да, делится на 3.
- Делимость на 5: последняя цифра — 6 (не 0 и не 5). Нет, не делится на 5.
- Делимость на 9: сумма цифр = 15. Число 15 не делится на 9 (15 : 9 = 1,