Геометрия

Основные понятия геометрии

Точка, прямая, плоскость, отрезок, луч. Аксиомы планиметрии.

Углы

Виды углов, смежные и вертикальные углы, биссектриса угла.

Треугольники

Классификация треугольников. Сумма углов треугольника = 180°.

Признаки равенства треугольников

Три признака равенства треугольников (ССС, СУС, УСУ). Следствия.

Равнобедренный треугольник

Свойства и признаки равнобедренного треугольника.

Параллельные прямые

Признаки параллельности. Углы при параллельных прямых и секущей.

Четырёхугольники

Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция. Свойства.

Окружность

Окружность и круг, хорда, диаметр, касательная. Взаимное расположение прямой и окружности.

Сумма углов треугольника

Теорема о сумме углов треугольника: почему она равна 180 градусам и как её применять в задачах.

Внешний угол треугольника

Что такое внешний угол треугольника и теорема о его равенстве сумме двух не смежных внутренних углов.

Медиана, биссектриса и высота треугольника

Три замечательные линии треугольника: их определения, свойства и отличия друг от друга.

Прямоугольный треугольник

Элементы прямоугольного треугольника, его свойства и признаки равенства прямоугольных треугольников.

Неравенство треугольника

Соотношение между сторонами и углами треугольника и условие существования треугольника по трём сторонам.

Перпендикуляр и наклонная

Расстояние от точки до прямой, перпендикуляр и наклонная, свойство перпендикуляра как кратчайшего отрезка.

Задачи на построение циркулем и линейкой

Основные построения: отрезок, угол, биссектриса, серединный перпендикуляр и перпендикуляр к прямой.

Смежные углы

Что такое смежные углы, их главное свойство и как находить второй угол, если известен первый.

Вертикальные углы

Определение вертикальных углов, доказательство их равенства и применение в задачах на пересечение прямых.

Признаки параллельности прямых

Три признака параллельности двух прямых, пересечённых секущей: по накрест лежащим, односторонним и соответственным углам.

Аксиома параллельных прямых

Аксиома параллельных прямых и её следствия о единственности прямой и о пересечении параллельных.

Свойства равнобедренного треугольника

Теоремы о равенстве углов при основании и о биссектрисе, проведённой к основанию равнобедренного треугольника.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Четыре признака равенства прямоугольных треугольников, в том числе по гипотенузе и катету.

Расстояние между параллельными прямыми

Что считают расстоянием между двумя параллельными прямыми и почему оно одинаково во всех точках.

Касательная к окружности

Определение касательной, её свойство перпендикулярности радиусу и признак касательной.

Измерение отрезков и углов

Как измеряют длины отрезков и величины углов, свойства измерений и единицы измерения.

Ломаная и многоугольник

Понятия ломаной и многоугольника, их элементы, периметр и выпуклые многоугольники.

Луч и отрезок

Чем луч отличается от прямой и отрезка, как обозначать эти фигуры и сравнивать отрезки.

Полуплоскость

Что такое полуплоскость, как прямая делит плоскость на две части и как это применяют в доказательствах.

Биссектриса угла

Определение биссектрисы угла, её свойство равноудалённости и построение циркулем и линейкой.

Острый, прямой и тупой углы

Классификация углов по величине: острый, прямой, тупой и развёрнутый угол.

Перпендикулярные прямые

Когда две прямые перпендикулярны, признак и свойства перпендикулярных прямых на плоскости.

Накрест лежащие, односторонние и соответственные углы

Углы при пересечении двух прямых секущей и их роль в признаках параллельности.

Равносторонний треугольник

Свойства равностороннего треугольника, его углы и связь с равнобедренным треугольником.

Катеты и гипотенуза

Стороны прямоугольного треугольника: что такое катеты и гипотенуза и как они связаны.

Свойство катета против угла 30 градусов

Катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы — свойство и доказательство.

Диаметр и радиус окружности

Основные элементы окружности: радиус, диаметр, хорда и связь между ними.

Серединный перпендикуляр к отрезку

Серединный перпендикуляр, его свойство равноудалённости точек и построение циркулем и линейкой.

Расстояние от точки до прямой

Как измеряют расстояние от точки до прямой и почему его задаёт длина перпендикуляра.

Второй признак равенства треугольников

Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам: формулировка и применение.

Третий признак равенства треугольников

Равенство треугольников по трём сторонам: формулировка, доказательство и задачи.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника

Почему два острых угла прямоугольного треугольника в сумме дают 90 градусов.

Окружность, описанная около треугольника

Центр описанной окружности как точка пересечения серединных перпендикуляров сторон.

Окружность, вписанная в треугольник

Центр вписанной окружности как точка пересечения биссектрис углов треугольника.

Построение треугольника по трём сторонам

Как циркулем и линейкой построить треугольник по заданным длинам трёх сторон.

Построение угла, равного данному

Алгоритм построения угла, равного заданному, с помощью циркуля и линейки.

Построение перпендикуляра к прямой

Как построить прямую, перпендикулярную данной и проходящую через заданную точку.

Деление отрезка пополам

Построение середины отрезка циркулем и линейкой через серединный перпендикуляр.

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Против большей стороны лежит больший угол и наоборот: правило и его следствия.

Признак равнобедренного треугольника

Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный: формулировка и применение.

Хорда окружности

Хорда как отрезок, соединяющий две точки окружности, и её свойства.

Точка, прямая и плоскость

Основные геометрические фигуры, через которые строятся все остальные понятия планиметрии.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Когда прямые пересекаются, совпадают или параллельны, и сколько у них общих точек.

Градусная мера угла

Как измеряют углы в градусах, минутах и секундах и какие бывают виды углов по величине.

Равенство геометрических фигур

Что значит наложение фигур и когда два отрезка, угла или треугольника считаются равными.

Первый признак равенства треугольников

Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними и его применение в задачах.

Перпендикуляр, опущенный из точки на прямую

Единственность перпендикуляра из точки на прямую и его роль как кратчайшего расстояния.

Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

Классификация треугольников по виду углов и связь между типом треугольника и его углами.

Виды треугольников по сторонам

Разносторонний, равнобедренный и равносторонний треугольники и различия между ними.

Биссектрисы углов треугольника

Свойства биссектрис треугольника, точка их пересечения и связанные с ними углы.

Взаимное расположение двух окружностей

Когда окружности пересекаются, касаются или не имеют общих точек в зависимости от расстояния между центрами.

Длина ломаной и периметр многоугольника

Как вычисляют длину ломаной и периметр многоугольника и какие при этом работают неравенства.

Осевая симметрия фигур

Симметрия относительно прямой, ось симметрии и примеры симметричных геометрических фигур.

Дополнительные лучи и их свойства

Что такое дополнительные лучи, как они образуют прямую и где это применяется в задачах.

Сложение и вычитание отрезков

Как складывать и вычитать отрезки геометрически и как находить их части через равенство.

Внутренняя и внешняя область угла

Какие точки лежат внутри угла, а какие снаружи, и как это помогает в доказательствах.

Равные углы и способы их сравнения

Как сравнивать углы наложением и по градусной мере, что значит равенство углов.

Что такое теорема и доказательство

Из чего состоит теорема, чем условие отличается от заключения и как строится доказательство.

Аксиомы геометрии

Что такое аксиома, зачем она нужна и какие основные аксиомы используют в 7 классе.

Обратная теорема

Как из теоремы получить обратную и почему обратное утверждение не всегда верно.

Чем признак отличается от свойства

Почему важно различать признак фигуры и её свойство и как не перепутать их в задаче.

Углы при пересечении двух прямых

Какие четыре угла образуются при пересечении прямых и как они связаны между собой.

Совпадение медианы, высоты и биссектрисы

Почему в равнобедренном треугольнике эти три линии, проведённые к основанию, совпадают.

Как выбрать признак равенства треугольников

По каким данным определить, какой из трёх признаков равенства применить в задаче.

Геометрическое место точек

Что такое геометрическое место точек и как описать множество точек с заданным свойством.

Окружность как геометрическое место точек

Почему окружность — это множество точек, равноудалённых от центра, и как это применяют.

Высоты остроугольного и тупоугольного треугольника

Где лежат основания высот в разных треугольниках и почему высота может выходить за фигуру.

Площади фигур

Формулы площади треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба.

Теорема Пифагора

Формулировка теоремы, доказательство, обратная теорема, применение.

Подобные треугольники

Признаки подобия треугольников. Коэффициент подобия. Отношение площадей.

Синус, косинус и тангенс угла

Тригонометрия прямоугольного треугольника. Основное тригонометрическое тождество.

Вписанные и описанные окружности

Вписанная и описанная окружность треугольника, радиусы.

Средняя линия треугольника и трапеции

Теорема о средней линии, применение в задачах.

Векторы

Понятие вектора, длина и направление. Сложение и вычитание векторов.

Метод координат

Координаты вектора, расстояние между точками, деление отрезка.

Ромб и его свойства

Ромб как параллелограмм с равными сторонами: диагонали, признаки и формулы площади.

Прямоугольник и квадрат

Особые параллелограммы: свойства диагоналей прямоугольника и квадрата, их признаки и площадь.

Трапеция и её виды

Что такое трапеция, равнобедренная и прямоугольная трапеции, их свойства и площадь.

Теорема Фалеса

Как параллельные прямые делят стороны угла на пропорциональные отрезки и зачем это нужно.

Касательная к окружности

Касательная и её перпендикулярность радиусу, признак касательной и равные отрезки касательных.

Центральные и вписанные углы

Центральный и вписанный углы, теорема о вписанном угле и угол, опирающийся на диаметр.

Неравенство треугольника

Почему сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей и как это применять в задачах.

Параллелограмм и его свойства

Определение параллелограмма и его основные свойства: равенство сторон, углов и точка пересечения диагоналей.

Признаки параллелограмма

Три признака, по которым четырёхугольник является параллелограммом, и их применение в доказательствах.

Площадь параллелограмма

Формула площади параллелограмма через сторону и высоту и через две стороны с углом между ними.

Площадь треугольника

Формулы площади треугольника: через основание и высоту, через две стороны и угол, формула Герона.

Площадь трапеции

Вывод и применение формулы площади трапеции через полусумму оснований и высоту.

Признаки подобия треугольников

Три признака подобия треугольников и их использование для нахождения неизвестных сторон.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Высота, проведённая к гипотенузе, и пропорциональные отрезки: среднее геометрическое в прямоугольном треугольнике.

Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Четыре замечательные точки треугольника

Точки пересечения биссектрис, серединных перпендикуляров, высот и медиан треугольника.

Решение прямоугольных треугольников

Нахождение всех сторон и углов прямоугольного треугольника по двум известным элементам.

Сумма углов многоугольника

Формула суммы внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника и её применение.

Осевая и центральная симметрия

Виды симметрии фигур, оси и центр симметрии, построение симметричных точек.

Теорема, обратная теореме Пифагора

Как по сторонам определить, является ли треугольник прямоугольным.

Пифагоровы тройки

Натуральные тройки сторон прямоугольного треугольника и способы их получения.

Площадь ромба

Вычисление площади ромба через диагонали, сторону и высоту.

Площадь четырёхугольника через диагонали

Формула площади четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями.

Отношение площадей подобных фигур

Связь коэффициента подобия с отношением площадей подобных фигур.

Среднее пропорциональное (геометрическое)

Понятие среднего пропорционального и его геометрический смысл в прямоугольном треугольнике.

Основное тригонометрическое тождество

Связь синуса и косинуса одного угла и значения функций для углов 30, 45, 60 градусов.

Длина окружности и площадь круга

Число пи, формулы длины окружности и площади круга, сектор и его площадь.

Взаимное расположение двух окружностей

Случаи касания и пересечения окружностей в зависимости от расстояния между центрами.

Градусная мера дуги окружности

Как измеряются дуги окружности и связь дуги с центральным углом.

Ортоцентр треугольника

Точка пересечения высот треугольника: где она лежит в остроугольном, прямоугольном и тупоугольном треугольнике.

Свойство медиан и центроид

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

Формула Герона

Площадь треугольника по трём сторонам через полупериметр — формула Герона и её применение.

Площадь треугольника через синус угла

Площадь равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними.

Высота прямоугольного треугольника к гипотенузе

Как найти высоту, опущенную из прямого угла на гипотенузу, через катеты и гипотенузу.

Катет против угла 30 градусов

Катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы — свойство и его применение.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, всегда прямой — теорема и её следствия.

Свойство пересекающихся хорд

Произведения отрезков двух пересекающихся хорд равны — теорема о хордах и её применение.

Свойство описанного четырёхугольника

В четырёхугольник можно вписать окружность тогда, когда суммы противоположных сторон равны.

Свойство вписанного четырёхугольника

У четырёхугольника, вписанного в окружность, суммы противоположных углов равны 180 градусам.

Касательная и секущая из одной точки

Квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть.

Построения циркулем и линейкой

Основные геометрические построения: середина отрезка, биссектриса угла, перпендикуляр.

Площадь прямоугольного треугольника

Как находить площадь прямоугольного треугольника через катеты и через гипотенузу с высотой.

Свойство диагоналей прямоугольника

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам — доказательство и применение.

Перпендикуляр и наклонная

Расстояние от точки до прямой, сравнение перпендикуляра и наклонных, проекция наклонной.

Тангенс острого угла

Определение тангенса как отношения противолежащего катета к прилежащему и связь с синусом и косинусом.

Значения синуса, косинуса и тангенса для 30, 45 и 60 градусов

Таблица точных значений тригонометрических функций для углов 30, 45 и 60 градусов.

Вписанная окружность треугольника и её радиус

Центр вписанной окружности, формула радиуса через площадь и полупериметр.

Описанная окружность треугольника и её радиус

Центр описанной окружности, радиус для прямоугольного треугольника и связь со сторонами.

Коэффициент подобия фигур

Что такое коэффициент подобия, как через него связаны стороны, периметры и площади подобных фигур.

Свойства равнобедренной трапеции

Равные боковые стороны, равные углы при основании и равные диагонали равнобедренной трапеции.

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника

Почему сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника равна 360 градусам.

Правильный многоугольник и его углы

Определение правильного многоугольника, формулы для внутреннего угла и числа сторон.

Расстояние между двумя точками на координатной плоскости

Формула расстояния между точками через их координаты и середина отрезка.

Косинус острого угла

Косинус острого угла прямоугольного треугольника как отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Синус острого угла

Синус острого угла как отношение противолежащего катета к гипотенузе и его применение.

Диагонали ромба и их свойства

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам — доказательство и применение.

Аксиома параллельных прямых

Через точку вне прямой проходит ровно одна прямая, параллельная данной, и следствия из этого.

Внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника равен сумме двух не смежных с ним внутренних углов.

Площадь многоугольника через разбиение

Вычисление площади произвольного многоугольника разбиением на треугольники и прямоугольники.

Подобие многоугольников

Подобные многоугольники: равные углы и пропорциональные стороны, коэффициент подобия.

Угловой коэффициент прямой

Угловой коэффициент прямой на координатной плоскости и его связь с тангенсом угла наклона.

Уравнение окружности

Уравнение окружности с центром в заданной точке и радиусом на координатной плоскости.

Уравнение прямой

Уравнение прямой на координатной плоскости и его частные виды.

Отношение периметров подобных фигур

Периметры подобных фигур относятся как коэффициент подобия — правило и примеры.

Радиус вписанной окружности через площадь

Формула радиуса вписанной в треугольник окружности через площадь и полупериметр.

Прямоугольная трапеция

Прямоугольная трапеция: определение, свойства боковых сторон и углов, вычисления.

Деление отрезка пополам циркулем

Построение середины отрезка и серединного перпендикуляра циркулем и линейкой.

Теоремы синусов и косинусов

Теорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.

Правильные многоугольники

Правильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.

Длина окружности и площадь круга

Число π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.

Движения в геометрии

Осевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.

Преобразование подобия

Гомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.

Векторный метод

Применение векторов для доказательства геометрических утверждений.

Метод координат на плоскости

Координаты точки и вектора, формулы расстояния и середины отрезка, решение задач координатным способом.

Скалярное произведение векторов

Определение скалярного произведения, его свойства и применение для нахождения угла между векторами.

Уравнение окружности

Вывод уравнения окружности через центр и радиус, распознавание окружности по уравнению.

Уравнение прямой

Общее уравнение прямой и уравнение с угловым коэффициентом, условия параллельности и перпендикулярности.

Площадь треугольника через две стороны и синус угла

Формула площади через стороны и синус угла между ними, связь с формулами площади и высотой.

Вписанные и центральные углы

Теорема о вписанном угле, связь центрального и вписанного углов, углы, опирающиеся на диаметр.

Начальные сведения из стереометрии

Многогранники и тела вращения, формулы объёма призмы, цилиндра, конуса и шара.

Решение треугольников

Как найти все стороны и углы треугольника по трём данным элементам с помощью теорем синусов и косинусов.

Площадь многоугольника по координатам вершин

Формула площади треугольника и многоугольника, заданного координатами вершин на плоскости.

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Как выразить любой вектор плоскости через два базисных вектора и зачем это нужно.

Угол между векторами

Вычисление угла между векторами через скалярное произведение и условие перпендикулярности.

Площадь сектора и сегмента круга

Как найти площадь кругового сектора и сегмента, а также длину дуги по центральному углу.

Вписанная и описанная окружности многоугольника

Радиусы окружностей, вписанных в правильный многоугольник и описанных около него.

Поворот и осевая симметрия как движения

Построение образов фигур при повороте вокруг точки и симметрии относительно прямой.

Гомотетия и центральное подобие

Преобразование гомотетии, его коэффициент и свойства, связь с подобием фигур.

Средняя линия треугольника и трапеции

Свойства средней линии треугольника и трапеции, их применение к вычислению длин.

Объёмы шара, цилиндра и конуса (начальные сведения)

Первое знакомство с формулами объёма тел вращения в курсе стереометрии 9 класса.

Касательная к окружности и её свойства

Что такое касательная, почему она перпендикулярна радиусу и как находить отрезки касательных из одной точки.

Свойства хорд окружности

Связь хорды, диаметра и расстояния до центра, равные хорды и перпендикуляр из центра к хорде.

Теорема об отрезках пересекающихся хорд

Произведения отрезков пересекающихся хорд равны: формула, доказательство и задачи.

Угол между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой внутри него.

Расстояние между двумя точками на координатной плоскости

Формула расстояния как следствие теоремы Пифагора и её применение к задачам.

Координаты середины отрезка

Как найти середину отрезка по координатам концов и где это используется.

Сложение и вычитание векторов

Правила треугольника, параллелограмма и многоугольника, вычитание векторов и их свойства.

Умножение вектора на число

Как меняется длина и направление вектора при умножении на число, условие коллинеарности.

Признаки подобия треугольников

Три признака подобия треугольников и их применение для нахождения сторон и углов.

Радианная мера угла

Что такое радиан, перевод между градусами и радианами и связь с длиной дуги.

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Высота, проекции катетов и среднее геометрическое в прямоугольном треугольнике.

Касающиеся окружности

Внешнее и внутреннее касание окружностей и связь между расстоянием центров и радиусами.

Формула Герона

Как найти площадь треугольника по трём сторонам через полупериметр без высоты и углов.

Площадь трапеции

Вывод и применение формулы площади трапеции через основания и высоту.

Площадь правильного многоугольника через радиусы

Формулы площади правильного многоугольника через радиус вписанной и описанной окружностей.

Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам.

Длина медианы и теорема Стюарта

Как вычислить длину медианы треугольника по трём его сторонам.

Площадь четырёхугольника по диагоналям

Формула площади четырёхугольника через диагонали и угол между ними.

Вписанный четырёхугольник

Признак и свойство суммы противоположных углов вписанного четырёхугольника.

Описанный четырёхугольник

Свойство равенства сумм противоположных сторон описанного четырёхугольника.

Степень точки относительно окружности

Единый взгляд на теоремы о хордах, секущих и касательной через степень точки.

Геометрическое место точек

Понятие ГМТ и основные множества: серединный перпендикуляр, биссектриса, окружность.

Уравнение прямой по двум точкам

Как составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости.

Угловой коэффициент и условие параллельности прямых

Смысл углового коэффициента и условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Аксиомы стереометрии

Точка, прямая, плоскость в пространстве. Аксиомы взаимного расположения.

Параллельность в пространстве

Параллельные прямые и плоскости, скрещивающиеся прямые.

Перпендикулярность

Перпендикуляр к плоскости, угол прямой с плоскостью, двугранный угол.

Многогранники

Призма, параллелепипед, пирамида. Развёртки, поверхности и объёмы.

Тела вращения

Цилиндр, конус, шар. Площади поверхностей и объёмы.

Векторы в пространстве

Понятие вектора в пространстве, действия над векторами, компланарность и разложение по трём некомпланарным векторам.

Прямоугольные координаты в пространстве

Декартова система координат в пространстве, координаты точки и вектора, формулы длины, середины и расстояния.

Угол между прямой и плоскостью

Определение угла между наклонной прямой и плоскостью через проекцию и способы его вычисления.

Расстояние от точки до плоскости

Перпендикуляр и наклонная, понятие расстояния от точки до плоскости и до прямой в пространстве.

Призма и её свойства

Прямая и наклонная призма, элементы призмы, формулы площади боковой и полной поверхности.

Пирамида и её свойства

Виды пирамид, правильная пирамида, апофема, площадь боковой и полной поверхности пирамиды.

Сечения многогранников плоскостью

Построение сечений призмы и пирамиды секущей плоскостью методом следов и методом внутреннего проектирования.

Параллельность прямой и плоскости

Признак и свойства параллельности прямой и плоскости в пространстве с разбором доказательства.

Параллельность двух плоскостей

Признак параллельности плоскостей и свойства параллельных плоскостей в стереометрии.

Теорема о трёх перпендикулярах

Прямая и обратная теорема о трёх перпендикулярах и её применение к решению задач.

Двугранный угол

Понятие двугранного угла, его линейный угол и способы измерения в пространстве.

Угол между скрещивающимися прямыми

Определение и нахождение угла между скрещивающимися прямыми через параллельный перенос.

Площадь ортогональной проекции многоугольника

Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника на плоскость и её применение.

Параллелепипед и его свойства

Прямой, наклонный и прямоугольный параллелепипед: свойства граней, рёбер и диагоналей.

Правильные многогранники

Пять правильных многогранников (тела Платона): их строение, свойства и формула Эйлера.

Скрещивающиеся прямые

Определение скрещивающихся прямых, признак и отличие от пересекающихся и параллельных.

Симметрия в пространстве

Центральная, осевая и зеркальная симметрия в пространстве и симметрия многогранников.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Три случая расположения двух прямых: пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся.

Взаимное расположение прямой и плоскости

Когда прямая лежит в плоскости, параллельна ей или пересекает её в одной точке.

Взаимное расположение двух плоскостей

Две плоскости либо пересекаются по прямой, либо параллельны друг другу.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Признак перпендикулярности прямой и плоскости и его применение в задачах.

Перпендикулярность двух плоскостей

Признак перпендикулярности плоскостей через прямой двугранный угол.

Наклонная и её проекция

Перпендикуляр, наклонная и её проекция на плоскость, сравнение их длин.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Длина общего перпендикуляра как кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми.

Площадь поверхности призмы

Формулы боковой и полной поверхности прямой и наклонной призмы.

Площадь поверхности пирамиды

Боковая и полная поверхность пирамиды, роль апофемы у правильной пирамиды.

Усечённая пирамида

Усечённая пирамида: её элементы, свойства оснований и площадь поверхности.

Построение сечений методом следов

Метод следов для построения сечений многогранников плоскостью.

Тетраэдр и его свойства

Тетраэдр как простейший многогранник: грани, рёбра, медианы и точка их пересечения.

Координаты в пространстве

Прямоугольная система координат, расстояния и углы в координатах.

Векторы в пространстве

Координаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.

Уравнение плоскости

Общее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.

Правильные многогранники

Платоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

Сечения многогранников

Построение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.

Объём призмы и параллелепипеда

Как вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.

Объём пирамиды и усечённой пирамиды

Формула одной трети произведения площади основания на высоту и объём усечённой пирамиды для задач стереометрии.

Цилиндр: площадь поверхности и объём

Прямой круговой цилиндр, его осевое сечение, боковая и полная поверхность, формула объёма в задачах ЕГЭ.

Конус и усечённый конус

Образующая, осевое сечение, развёртка, площадь поверхности и объём конуса и усечённого конуса.

Шар и сфера: площадь поверхности и объём

Сфера как поверхность, шар как тело, формулы площади сферы и объёма шара, сечения и касательная плоскость.

Угол между прямой и плоскостью

Определение угла через проекцию наклонной, теорема о трёх перпендикулярах и приёмы вычисления в координатах.

Двугранный угол и угол между плоскостями

Линейный угол двугранного угла, угол между плоскостями и способы его нахождения, в том числе через нормали.

Касательная плоскость к сфере

Признак касательной плоскости к сфере, её свойства и решение задач на расстояние от центра до плоскости.

Сфера, вписанная в многогранник

Условие существования вписанной сферы и формула её радиуса через объём и площадь поверхности многогранника.

Сфера, описанная около многогранника

Положение центра описанной сферы, его построение для призмы и пирамиды и вычисление радиуса.

Комбинация цилиндра и сферы

Сфера, вписанная в цилиндр и описанная около него: связь радиусов, высоты и нахождение объёмов.

Комбинация конуса и сферы

Вписанная и описанная сферы для конуса: осевое сечение, формулы радиусов и отношение объёмов.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Понятие общего перпендикуляра и методы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми в пространстве.

Площадь ортогональной проекции многоугольника

Теорема о площади проекции плоской фигуры и её применение к нахождению площадей сечений.

Теорема Эйлера для многогранников

Соотношение между числом вершин, рёбер и граней выпуклого многогранника и его применение.

Площадь поверхности призмы и параллелепипеда

Формулы боковой и полной поверхности прямой и наклонной призмы, разбор типовых задач.

Координатный метод в задачах стереометрии

Применение прямоугольных координат для вычисления расстояний, углов и объёмов пространственных тел.

Наклонная призма и её объём

Свойства наклонной призмы, перпендикулярное сечение и формула объёма через площадь сечения.

Шаровой сегмент, слой и сектор

Определения частей шара и формулы объёмов шарового сегмента, слоя и сектора.

Подобие тел и отношение объёмов

Как при подобии пространственных фигур меняются длины, площади и объёмы.

Симметрия в пространстве

Центральная, осевая и зеркальная симметрия пространственных фигур и их элементы.

Развёртки многогранников и тел вращения

Построение развёрток призмы, пирамиды, цилиндра и конуса и расчёт длин по развёртке.

Тетраэдр и его свойства

Медианы, центр тяжести и объём тетраэдра, связь рёбер и граней.

Параллельное проектирование

Свойства параллельного проектирования и изображение пространственных фигур на плоскости.

Тела вращения: получение и объём

Как фигуры образуют тела вращения и как считать их объём и площадь поверхности.

Площадь сферического пояса и сегмента

Формула площади поверхности шарового сегмента и пояса через высоту и радиус.

Угол между скрещивающимися прямыми

Определение и способы нахождения угла между скрещивающимися прямыми в пространстве.

Призматические и пирамидальные поверхности

Образование многогранных поверхностей и классификация выпуклых многогранников.

Расстояние от точки до плоскости

Определение и методы вычисления расстояния от точки до плоскости в пространстве.