Теоремы синусов и косинусов

Теоремы синусов и косинусов

Теоремы синусов и косинусов — это два мощных инструмента для решения произвольных треугольников, то есть таких, которые не обязательно являются прямоугольными. Если теорема Пифагора и базовые тригонометрические соотношения работают только в прямоугольных треугольниках, то эти теоремы применимы к любому треугольнику без исключения.

Знание этих теорем позволяет находить неизвестные стороны и углы треугольника, а также вычислять его площадь. Это особенно важно в практических задачах: от геодезии и навигации до архитектуры и инженерии.

Теорема синусов

Формулировка теоремы

Теорема синусов устанавливает связь между сторонами треугольника и синусами противолежащих углов:

В любом треугольнике отношение стороны к синусу противолежащего угла есть величина постоянная, равная диаметру описанной окружности.

Формула: a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R

Здесь a, b, c — стороны треугольника, A, B, C — противолежащие им углы, а R — радиус описанной окружности.

Когда применять теорему синусов

• Известны две стороны и угол, противолежащий одной из них
• Известны сторона и два угла
• Нужно найти радиус описанной окружности

Теорема косинусов

Формулировка теоремы

Теорема косинусов связывает квадрат стороны треугольника с квадратами двух других сторон и косинусом угла между ними:

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формулы:

• a² = b² + c² − 2bc · cos A
• b² = a² + c² − 2ac · cos B
• c² = a² + b² − 2ab · cos C

Обратите внимание: если угол равен 90°, то косинус равен нулю, и теорема превращается в теорему Пифагора!

Когда применять теорему косинусов

• Известны три стороны треугольника
• Известны две стороны и угол между ними

Разобранные примеры

Пример 1: Применение теоремы косинусов

Условие: В треугольнике ABC известно: AB = 5, BC = 7, угол B = 60°. Найдите сторону AC.

Решение:

1. Сторона AC противолежит углу B. Обозначим AC = b.
2. Применяем теорему косинусов: b² = AB² + BC² − 2 · AB · BC · cos B
3. Подставляем значения: b² = 5² + 7² − 2 · 5 · 7 · cos 60°
4. Вычисляем: b² = 25 + 49 − 70 · 0,5 = 74 − 35 = 39
5. Извлекаем корень: b = √39 ≈ 6,24

Ответ: AC = √39 ≈ 6,24

Пример 2: Применение теоремы синусов

Условие: В треугольнике ABC известно: сторона a = 10, угол A = 30°, угол B = 45°. Найдите сторону b.

Решение:

1. По теореме синусов: a / sin A = b / sin B
2. Выражаем b: b = a · sin B / sin A
3. Подставляем значения: b = 10 · sin 45° / sin 30°
4. Вычисляем: b = 10 · (√2/2) / (1/2) = 10 · √2 ≈ 14,14

Ответ: b = 10√2 ≈ 14,14

Пример 3: Нахождение угла по трём сторонам

Условие: Стороны треугольника равны 5, 6 и 7. Найдите наибольший угол.

Решение:

1. Наибольший угол лежит против наибольшей стороны. Значит, ищем угол C, противолежащий стороне c = 7.
2. Из теоремы косинусов выражаем косинус: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab)
3. Подставляем: cos C = (25 + 36 − 49) / (2 · 5 · 6) = 12 / 60 = 0,2
4. Находим угол: C = arccos(0,2) ≈ 78,5°

Ответ: наибольший угол ≈ 78,5°

Ключевые правила — запомни!

Что известно	Какую теорему использовать
Две стороны и угол между ними	Теорема косинусов Следующая тема → Правильные многоугольники