Подобные треугольники

Подобные треугольники

Представь, что ты фотографируешь здание, а потом увеличиваешь или уменьшаешь снимок. Форма здания на фото остаётся той же, меняется только размер. Именно так работает подобие в геометрии — фигуры сохраняют свою форму, но могут отличаться по величине.

Что такое подобные треугольники

Подобные треугольники — это треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Если треугольник ABC подобен треугольнику DEF, это записывается так: △ABC ~ △DEF. Значок «~» читается как «подобен».

Коэффициент подобия

Отношение соответствующих сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия и обозначается буквой k.

Если △ABC ~ △DEF, то:

• AB/DE = BC/EF = AC/DF = k
• Угол A = углу D, угол B = углу E, угол C = углу F

Важно: порядок букв в записи подобия имеет значение! Первые буквы обозначают соответствующие вершины: A соответствует D, B соответствует E, C соответствует F.

Признаки подобия треугольников

Чтобы доказать подобие треугольников, не обязательно проверять равенство всех углов и пропорциональность всех сторон. Достаточно воспользоваться одним из трёх признаков.

Первый признак (по двум углам)

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Почему достаточно двух углов? Потому что сумма углов треугольника всегда равна 180°. Если два угла равны, третий автоматически тоже равен.

Второй признак (по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Третий признак (по трём сторонам)

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то треугольники подобны.

Свойства подобных треугольников

Элемент	Как соотносится
Соответствующие стороны	Относятся как k
Периметры	Относятся как k
Площади	Относятся как k²
Высоты, медианы, биссектрисы	Относятся как k

Разобранные примеры

Пример 1: Доказательство подобия

Условие: В треугольнике ABC угол A = 50°, угол B = 70°. В треугольнике DEF угол D = 50°, угол F = 60°. Подобны ли эти треугольники?

Решение:

1. Найдём угол C в первом треугольнике: угол C = 180° − 50° − 70° = 60°
2. Найдём угол E во втором треугольнике: угол E = 180° − 50° − 60° = 70°
3. Сравним углы:
   • Угол A = 50° = угол D
   • Угол B = 70° = угол E
   • Угол C = 60° = угол F
4. Все соответствующие углы равны, значит, по первому признаку △ABC ~ △DEF.

Ответ: Да, треугольники подобны.

Пример 2: Нахождение неизвестной стороны

Условие: Треугольники ABC и MNK подобны, причём △ABC ~ △MNK. Известно: AB = 6 см, BC = 8 см, AC = 10 см, MN = 9 см. Найти стороны NK и MK.

Решение:

1. Из записи подобия определяем соответствие: A↔M, B↔N, C↔K
2. Значит, AB соответствует MN, BC соответствует NK, AC соответствует MK
3. Найдём коэффициент подобия: k = MN/AB = 9/6 = 1,5
4. Найдём NK: NK = BC × k = 8 × 1,5 = 12 см
5. Найдём MK: MK = AC × k = 10 × 1,5 = 15 см

Ответ: NK = 12 см, MK = 15 см.

Пример 3: Отношение площадей

Условие: Стороны одного треугольника равны 3 см, 4 см и 5 см. Стороны другого треугольника равны 6 см, 8 см и 10 см. Найти отношение площадей этих треугольников.

Решение:

1. Проверим