Производная

Производная функции

Производная — одно из фундаментальных понятий математического анализа, которое описывает скорость изменения функции в каждой точке. Если вы когда-нибудь задумывались, как вычислить мгновенную скорость автомобиля или определить, в какой момент прибыль компании растёт быстрее всего, — вам нужна именно производная.

Говоря простым языком, производная показывает, насколько быстро меняется значение функции при изменении её аргумента.

Основная теория

Определение производной

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

f'(x₀) = lim (Δx→0) [f(x₀ + Δx) − f(x₀)] / Δx

Обозначения производной: f'(x), y', df/dx, dy/dx.

Геометрический смысл производной

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. То есть f'(x₀) = tg(α), где α — угол наклона касательной к оси OX.

Физический смысл производной

Если s(t) — путь, пройденный телом за время t, то производная s'(t) — это мгновенная скорость тела в момент времени t.

Таблица производных основных функций

Функция f(x)	Производная f'(x)
C (константа)	0
x	1
xⁿ	n · xⁿ⁻¹
√x	1 / (2√x)
1/x	−1/x²
sin x	cos x
cos x	−sin x
tg x	1/cos²x
eˣ	eˣ
aˣ	aˣ · ln a
ln x	1/x
logₐ x	1/(x · ln a)

Правила дифференцирования

• Константа: (C · f)' = C · f'
• Сумма: (f + g)' = f' + g'
• Разность: (f − g)' = f' − g'
• Произведение: (f · g)' = f' · g + f · g'
• Частное: (f / g)' = (f' · g − f · g') / g²
• Сложная функция: (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x)

Разобранные примеры

Пример 1: Производная многочлена

Задача: Найти производную функции f(x) = 3x⁴ − 5x² + 2x − 7

Решение:

1. Применяем правило суммы — дифференцируем каждое слагаемое отдельно
2. Для 3x⁴: выносим константу, применяем формулу (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹
(3x⁴)' = 3 · 4x³ = 12x³
3. Для −5x²: (−5x²)' = −5 · 2x = −10x
4. Для 2x: (2x)' = 2
5. Для −7: производная константы равна нулю, (−7)' = 0

Ответ: f'(x) = 12x³ − 10x + 2

Пример 2: Производная произведения

Задача: Найти производную функции f(x) = x² · sin x

Решение:

1. Обозначим u = x² и v = sin x
2. Находим производные: u' = 2x, v' = cos x
3. Применяем формулу произведения: (u · v)' = u' · v + u · v'
4. Подставляем: f'(x) = 2x · sin x + x² · cos x

Ответ: f'(x) = 2x · sin x + x² · cos x