Определённый интеграл

Определённый интеграл

Определённый интеграл — это одно из важнейших понятий математического анализа, которое позволяет вычислять площади фигур, объёмы тел, работу силы и многие другие величины. Если неопределённый интеграл даёт нам семейство функций, то определённый интеграл — это конкретное число.

Основная теория

Что такое определённый интеграл

Определённый интеграл функции f(x) на отрезке [a; b] записывается так:

∫[a;b] f(x)dx

где a — нижний предел интегрирования, b — верхний предел интегрирования, f(x) — подынтегральная функция.

Геометрический смысл: определённый интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = f(x), осью Ox и прямыми x = a и x = b.

Формула Ньютона-Лейбница

Главная формула для вычисления определённого интеграла называется формулой Ньютона-Лейбница:

∫[a;b] f(x)dx = F(b) − F(a)

где F(x) — любая первообразная функции f(x).

Разность F(b) − F(a) часто записывают как F(x)|[a;b] и читают «F от x в пределах от a до b».

Основные свойства определённого интеграла

• Линейность: ∫[a;b] (f(x) ± g(x))dx = ∫[a;b] f(x)dx ± ∫[a;b] g(x)dx
• Вынесение константы: ∫[a;b] k·f(x)dx = k · ∫[a;b] f(x)dx
• Аддитивность: ∫[a;b] f(x)dx = ∫[a;c] f(x)dx + ∫[c;b] f(x)dx, где a < c < b
• Перемена пределов: ∫[a;b] f(x)dx = −∫[b;a] f(x)dx
• Интеграл с равными пределами: ∫[a;a] f(x)dx = 0

Разобранные примеры

Пример 1. Вычисление простого интеграла

Задача: Вычислить ∫[1;3] (2x + 1)dx

Решение:

1. Найдём первообразную: F(x) = x² + x
2. Применим формулу Ньютона-Лейбница: F(3) − F(1)
3. Вычислим F(3) = 3² + 3 = 9 + 3 = 12
4. Вычислим F(1) = 1² + 1 = 1 + 1 = 2
5. Найдём разность: 12 − 2 = 10

Ответ: 10

Пример 2. Интеграл с тригонометрической функцией

Задача: Вычислить ∫[0;π/2] cos(x)dx

Решение:

1. Первообразная для cos(x) — это sin(x)
2. Применяем формулу: sin(x)|[0;π/2] = sin(π/2) − sin(0)
3. Вычисляем: sin(π/2) = 1, sin(0) = 0
4. Результат: 1 − 0 = 1

Ответ: 1

Пример 3. Вычисление площади фигуры

Задача: Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = x², осью Ox и прямыми x = 0, x = 2.

Решение:

1. Поскольку y = x² ≥ 0 на отрезке [0; 2], площадь равна определённому интегралу
2. Составим интеграл: S = ∫[0;2] x²dx
3. Первообразная: F(x) = x³/3
4. Вычисляем: F(2) − F(0) = 8/3 − 0 = 8/3

Ответ: S = 8/3 ≈ 2,67 кв. ед.

Ключевые правила — запомни!

Функция f(x)	Первообразная F(x)
xⁿ	xⁿ⁺¹/(n+1), при n ≠ −1
1/x	ln|x|
sin(x)	−cos(x)
← Предыдущая тема Первообразная и интеграл Следующая тема → Системы уравнений и неравенств