Тригонометрические функции

Тригонометрические функции

Тригонометрические функции — это функции, которые связывают углы с отношениями сторон прямоугольного треугольника. В 10 классе мы изучаем четыре основные тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс и котангенс. Эти функции играют ключевую роль в математике, физике, инженерии и многих других областях.

Определение тригонометрических функций

Единичная окружность

Для определения тригонометрических функций используется единичная окружность — окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1. Любая точка на этой окружности имеет координаты, которые определяются через угол поворота от положительной полуоси OX.

Пусть точка M находится на единичной окружности, а угол между положительной полуосью OX и радиусом OM равен α. Тогда:

• Косинус угла α (cos α) — это абсцисса (координата x) точки M
• Синус угла α (sin α) — это ордината (координата y) точки M
• Тангенс угла α: tg α = sin α / cos α (при cos α ≠ 0)
• Котангенс угла α: ctg α = cos α / sin α (при sin α ≠ 0)

Область определения и значений

Функция	Область определения	Область значений
y = sin x	Все действительные числа	[−1; 1]
y = cos x	Все действительные числа	[−1; 1]
y = tg x	x ≠ π/2 + πn, n ∈ Z	Все действительные числа
y = ctg x	x ≠ πn, n ∈ Z	Все действительные числа

Основные свойства тригонометрических функций

Периодичность

Все тригонометрические функции являются периодическими:

• Период синуса и косинуса равен 2π
• Период тангенса и котангенса равен π

Это означает, что sin(x + 2π) = sin x, cos(x + 2π) = cos x, tg(x + π) = tg x.

Чётность и нечётность

• Косинус — чётная функция: cos(−x) = cos x
• Синус, тангенс, котангенс — нечётные функции: sin(−x) = −sin x

Основное тригонометрическое тождество

sin²α + cos²α = 1 — это равенство выполняется для любого угла α.

Из основного тождества можно вывести другие важные формулы:

• tg²α + 1 = 1/cos²α
• ctg²α + 1 = 1/sin²α

Значения тригонометрических функций для основных углов

Угол	0°	30°	45°	60°	90°
В радианах	0	π/6	π/4	π/3	π/2
sin	0	1/2	√2/2	√3/2	1
cos	1	√3/2	√2/2	1/2	0
tg	0	√3/3	1	√3	не сущ.

Разобранные примеры

Пример 1. Вычисление значения выражения

Задача: Вычислите значение выражения sin²(π/3) + cos²(π/3).

Решение:

1. Вспоминаем значения: sin(π/3) = √3/2, cos(π/3) = 1/2
2. Подставляем: (√3/2)² + (1/2)²
3. Вычисляем: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1

Ответ: 1

Примечание: этот результат подтверждает основное тригонометрическое тождество!

Пример 2. Нахождение значения тригонометрической функции

Задача: Известно, что sin α = 0,6 и угол α находится в первой четверти. Найдите cos α и tg α.

Решение:

1. Используем