Логарифмы

Логарифмы: полное руководство для 10 класса

Логарифмы — одна из фундаментальных тем алгебры, которая открывает двери в мир высшей математики, физики и программирования. На первый взгляд они могут показаться сложными, но на самом деле логарифм — это просто другой способ записи уже знакомой вам операции возведения в степень.

Что такое логарифм?

Представьте, что вам нужно ответить на вопрос: «В какую степень нужно возвести число 2, чтобы получить 8?» Вы легко ответите: в третью, потому что 2³ = 8. Именно это и делает логарифм — он находит показатель степени.

Определение: Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число b.

Записывается это так: logab = c, что равносильно ac = b

Условия существования логарифма

Логарифм существует не всегда. Запомните три обязательных условия:

• Основание a > 0 (основание положительное)
• Основание a ≠ 1 (основание не равно единице)
• Число b > 0 (под логарифмом стоит положительное число)

Почему так? Потому что никакая степень положительного числа не даст отрицательный результат или ноль, а единица в любой степени равна единице.

Основные свойства логарифмов

Свойства логарифмов — это ваши главные инструменты для решения задач. Выучите их наизусть!

Базовые свойства

Свойство	Формула	Пример
Логарифм единицы	loga1 = 0	log51 = 0
Логарифм основания	logaa = 1	log77 = 1
Основное логарифмическое тождество	alogab = b	3log35 = 5

Свойства для вычислений

Название	Формула
Логарифм произведения	loga(b · c) = logab + logac
Логарифм частного	loga(b / c) = logab − logac
Логарифм степени	logabk = k · logab
Формула перехода к другому основанию	logab = logcb / logca

Особые виды логарифмов

Два логарифма встречаются настолько часто, что получили специальные обозначения:

• Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10, записывается lg b вместо log₁₀b
• Натуральный логарифм — логарифм по основанию e ≈ 2,718, записывается ln b вместо log_eb

Разбор примеров

Пример 1: Вычисление логарифма по определению

Задача: Вычислите log₃81

Решение:

1. Зададим вопрос: в какую степень нужно возвести 3, чтобы получить 81?
2. Разложим 81 на множители: 81 = 3 · 27 = 3 · 3 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3⁴
3. Значит, 3 нужно возвести в степень 4

Ответ: log₃81 = 4

Пример 2: Использование свойств логарифмов

Задача: Вычислите log₂24 − log₂3

Решение:

1. Применим свойство логарифма частного (в обратную сторону): logab − logac = loga(b/c)
2. log₂24 − log₂3 = log₂(24/3) = log₂8
3. Так как 8 = 2³, то log₂8 = 3

Ответ: 3

Пример 3: Логарифм с использованием нескольких свойств

Задача: Найдите значение выражения log₅20 + log₅1,25