Отношения и пропорции
🔢 Математика · 6 класс
Отношения и пропорции
Представь, что ты готовишь лимонад по рецепту: на 2 стакана воды нужен 1 стакан сока. Если гостей придёт больше, как увеличить количество напитка, сохранив вкус? Именно здесь на помощь приходят отношения и пропорции — математические инструменты, которые помогают сравнивать величины и сохранять их соотношение при изменении масштаба.
Что такое отношение
Определение отношения
Отношение — это частное двух чисел или величин. Отношение показывает, во сколько раз одно число больше другого или какую часть одно число составляет от другого.
Отношение числа a к числу b записывается так: a : b или a / b
При этом число a называется предыдущим членом отношения, а число b — последующим членом.
Примеры отношений в жизни
- В классе 18 девочек и 12 мальчиков. Отношение числа девочек к числу мальчиков:
18 : 12 = 1,5. Это значит, что девочек в 1,5 раза больше. - Скорость автомобиля 80 км/ч — это отношение пройденного расстояния ко времени:
80 км : 1 ч. - Масштаб карты 1 : 1000 означает, что 1 см на карте соответствует 1000 см (10 м) на местности.
Основное свойство отношения
Отношение не изменится, если оба его члена умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.
12 : 8 = 6 : 4 = 3 : 2 = 1,5
Что такое пропорция
Определение пропорции
Пропорция — это равенство двух отношений.
Пропорция записывается так: a : b = c : d или a / b = c / d
Читается: «a относится к b, как c относится к d».
Члены пропорции
В пропорции a : b = c : d:
- Числа a и d называются крайними членами
- Числа b и c называются средними членами
Основное свойство пропорции
Запомни! В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.
a · d = b · c
Например, в пропорции 2 : 3 = 4 : 6 проверим: 2 · 6 = 12 и 3 · 4 = 12. Равенство выполняется — пропорция верна.
Это свойство позволяет находить неизвестный член пропорции, если известны три других.
Как найти неизвестный член пропорции
Правила нахождения неизвестного члена
| Что ищем | Формула |
|---|---|
| Крайний член | Произведение средних делим на известный крайний: x = (b · c) / d |
| Средний член | Произведение крайних делим на известный средний: x = (a · d) / b |
Разбор примеров
Пример 1: Нахождение крайнего члена
Задача: Найдите неизвестный член пропорции x : 4 = 15 : 12
Решение:
- Определяем, какой член неизвестен. Здесь x — крайний член (стоит на первом месте).
- Применяем основное свойство пропорции: произведение крайних равно произведению средних.
- Записываем:
x · 12 = 4 · 15 - Вычисляем правую часть:
x · 12 = 60 - Находим x:
x = 60 : 12 = 5
Ответ: x = 5
Проверка: 5 : 4 = 15 : 12 → 5 · 12 = 60 и 4 · 15 = 60. Верно!
Пример 2: Нахождение среднего члена
Задача: Решите пропорцию 7 : 21 = 5 : x
Решение:
- Неизвестный x — крайний член (стоит последним).
- По основному свойству:
7 · x = 21 · 5 - Вычисляем:
7 · x = 105 - Находим x:
x = 105 : 7 = 15
Ответ: x = 15