Геометрическая прогрессия
📐 Алгебра · 9 класс
Геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия — это один из важнейших видов числовых последовательностей, с которым мы постоянно сталкиваемся в реальной жизни. Рост бактерий, начисление сложных процентов в банке, распад радиоактивных веществ — всё это описывается геометрической прогрессией. Давайте разберёмся, что это такое и как с ней работать.
Определение геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии.
Знаменатель прогрессии обозначается буквой q (от латинского quotient — частное).
Важно: знаменатель q не может равняться нулю, иначе все члены прогрессии, начиная со второго, были бы равны нулю.
Примеры геометрических прогрессий
- 2, 6, 18, 54, 162... — знаменатель q = 3 (каждый член умножаем на 3)
- 100, 50, 25, 12.5... — знаменатель q = 0.5 (каждый член делим на 2)
- 3, -6, 12, -24, 48... — знаменатель q = -2 (знаки чередуются!)
- 5, 5, 5, 5... — знаменатель q = 1 (стационарная прогрессия)
Основные формулы
Формула n-го члена
Чтобы найти любой член геометрической прогрессии, не вычисляя все предыдущие, используется формула:
bₙ = b₁ · q⁽ⁿ⁻¹⁾
Где:
- bₙ — n-й член прогрессии (тот, который ищем)
- b₁ — первый член прогрессии
- q — знаменатель прогрессии
- n — номер члена
Формула суммы первых n членов
Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
Sₙ = b₁ · (qⁿ - 1) / (q - 1) при q ≠ 1
Если q = 1, то все члены равны b₁, и сумма просто равна: Sₙ = b₁ · n
Характеристическое свойство
Квадрат любого члена геометрической прогрессии (кроме первого и последнего) равен произведению соседних членов:
bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁
Это свойство часто используется для проверки, является ли последовательность геометрической прогрессией.
Разобранные примеры
Пример 1: Нахождение n-го члена
Условие: Дана геометрическая прогрессия, где b₁ = 3, q = 2. Найти b₇.
Решение:
- Записываем формулу n-го члена:
bₙ = b₁ · q⁽ⁿ⁻¹⁾ - Подставляем известные значения:
b₇ = 3 · 2⁽⁷⁻¹⁾ = 3 · 2⁶ - Вычисляем:
2⁶ = 64 - Находим ответ:
b₇ = 3 · 64 = 192
Ответ: b₇ = 192
Пример 2: Нахождение суммы членов прогрессии
Условие: Найти сумму первых 5 членов геометрической прогрессии: 4, 12, 36...
Решение:
- Определяем параметры прогрессии:
- b₁ = 4
- q = 12 ÷ 4 = 3
- n = 5
- Применяем формулу суммы:
S₅ = b₁ · (q⁵ - 1) / (q - 1) - Вычисляем q⁵:
3⁵ = 243 - Подставляем:
S₅ = 4 · (243 - 1) / (3 - 1) = 4 · 242 / 2 - Считаем:
S₅ = 4 · 121 = 484
Ответ: S₅ = 484
Пример 3: Нахождение знаменателя прогрессии
Условие: В геометрической прогрессии b₁ = 2, b₄ = 54. Найти знаменатель q.
Решение:
- Записываем формулу для b₄:
b₄ = b₁ · q³ - Подставляем известные значения:
54 = 2 · q³ - Выражаем q³:
q³ = 54 ÷ 2 = 27 - Извлекаем кубический корень:
q = ³√27 = 3